정수론 | 제곱수의 성질

자연수의 거듭제곱과 거듭제곱의 일의 자릿수

자연수 $N$에 대해 $P$를 $N$의 일의 자리수라고 하면 $N=10Q+P,\ P=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$로 표현할 수 있다.

임의의 자연수 $n$에 대하여 $N^n,\ P^n$의 일의 자리수는 동일하다. 즉 $\mu(N)$이 자연수 N의 일의자리수라면 $\mu(N^n)=\mu(P^n)$이다.

1. $\mu(0^n)=0$
2. $\mu(1^n)=1$
3. $\mu(2^1)=2,\ \mu(2^2)=4,\ \mu(2^3)=8,\ \mu(2^4)=6, \cdots$
4. $\mu(3^1)=3,\ \mu(3^2)=9,\ \mu(3^3)=7,\ \mu(3^4)=1, \cdots$
5. $\mu(4^1)=4,\ \mu(4^2)=6, \cdots$
6. $\mu(5^n)=5$
7. $\mu(6^n)=6$
8. $\mu(7^1)=7,\ \mu(7^2)=9,\ \mu(7^3)=3,\ \mu(7^4)=1, \cdots$
9. $\mu(8^1)=8,\ \mu(8^2)=4,\ \mu(8^3)=2,\ \mu(8^4)=6, \cdots$
10. $\mu(9^1)=9,\ \mu(9^2)=1, \cdots$

0, 1, 5, 6은 거듭제곱과 상관 없이 항상 일정하고 4, 9는 주기가 2로 반복되며 2, 3, 7, 8은 주기가 4로 반복됨을 알 수 있다. 이를 정리하면 다음과 같다.

• $\mu(N^n)=\mu(P^n),\ n\in N\ [N^n=(10Q+P)\equiv p^n\ (\pmod{10})]$
• $\mu(P^{4k+l})=\mu(P^l), \mu(P^{4k})=\mu(P^4),\ k\in N,\ l=1,2,3$
• $N_1$의 일의 자리수를 $P_1$, $N_2$의 일의 자리수를 $P_2$라 하면
  • $\mu(N_1+N_2)=\mu(P_1+P_2)=\mu(\mu(P_1)+\mu(P_2))$
  • $\mu(N_1\cdot N_2)=\mu(P_1\cdot P_2)=\mu(\mu(P_1)\cdot\mu(P_2))$

완전제곱수

[정의] 정수를 제곱하여 얻을 수 있는 $0, 1, 4, 9, 16, 25, \cdots$ 들을 완전제곱수 또는 제곱수라고 부른다.

예제: $\sqrt{\overline{xyz}}=x+y^2+z^3$을 만족하는 세 자리 양의 정수 $\overline{xyz}$를 구하여라.

$\overline{xyz}$가 세 자리 정수라면 $10\le x+y^2+z^3\le 31$이다. 그리고 $z\ge4$일 경우 해당 범위를 초과하게 되어 $z\le3$임을 알 수 있다. 그리고 $\overline{xyz}$은 완전제곱수이므로 $z$는 0, 1, 4, 5, 6, 9만 가능하게 되어 만족하는 값은 0, 1이다. 표현의 간소화를 위해 $n=\sqrt{\overline{xyz}}=x+y^2+z^3$라고 하자.

1. $z=0$일 때 $n$은 $10,\ 20,\ 30$을 가질 수 있지만 조건을 충족시키지 못한다.
2. $z=1$일 때 $n$은 $\overline{a1},\ \overline{a9}$가 가능하다.
   • $n=11,\ 21,\ 31$이면 $n^2=121,\ 441,\ 961$로 441만 조건을 충족한다.
   • $n=19,\ 29$이면 $n^2=361,\ 841$로 조건을 충족시키지 못한다.

따라서 문제에서 구하는 세 자리 양의 정수는 441이다.

정리: 완전제곱수를 4로 나눈 나머지는 0, 1이고 8로 나눈 나머지는 0, 1, 4이다.

[증명]

1. 임의의 정수 $n$에 대해 $n=2k,\ 2k+1$이라고 표현하면 $4k^2 \equiv 0\pmod{4}$, $4k^2+4k+1\equiv 1\pmod{4}$이다.
2. 임의의 정수 n에 대해 $4k,\ 4k+1,\ 4k+2,\ 4k+3$이라고 표현하면
   • $16k^2\equiv0\pmod{8}$
   • $16k^2+8k+1\equiv 1\pmod{8}$
   • $16k^2+16k+4\equiv 4\pmod{8}$
   • $16k^2+24k+9\equiv1\pmod{8}$

예제: $2^8+2^{11}+2^n$이 완전제곱수가 되도록 하는 자연수 $n$을 모두 구하시오.

$2^8+2^{11}=2^8(1+8)=(2^4\cdot3)^2=48^2$으로 $2^8+2^{11}+2^n=k^2$이라고 하면 $2^n=k^2-48^2=(k+48)(k-48)$이다. 그러므로 $k+48,\ k-48$ 모두 2의 거듭제곱의 형태를 갖는다.

$k+48=2^a,\ k-48=2^b\ a>b$라 하자. $96=2^5\cdot3=2^b(2^{a-b}-1)$이므로 $b=5,\ a-b=2$가 되어 $a=7$이다. $\therefore n=5+7=12$

예제: 어떤 완전제곱수의 마지막 두 숫자는 모두 0이 아니며, 그 마지막 두 숫자를 없애도 남은 수가 다시 완전제곱수인 가장 큰 수를 구하여라.

$x^2=100y^2+z,\ 11\le z\le 99$로 표현할 수 있다. $x=10y+a$라고 두면 $11\le 20ay+a^2\le99$이 되고 범위 내에 만족시킬 수 있는 가장 큰 $y$값은 4이다. 그리고 $a$는 1이다. 따라서, $x=41$이 되고 $x^2=1681$이다.

정리: 두 자연수 $m,n$이 $m=a^2+b^2,\ n=c^2+d^2$로 두 제곱수의 합으로 표현되면 $mn$도 두 제곱수의 합으로 표현됨을 보여라.

[증명] $mn=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$

$=(a^2d^2-a^2b^2c^2d^2+b^2c^2)+(a^2c^2+a^2b^2c^2d^2+b^2d^2)$

$=(ad-bc)^2+(ac+bd)^2$

예제: 2005를 두 제곱수의 합으로 표현하여라.

$2005=5\cdot401$이고 $5=2^2+1^2,\ 401=20^2+1^2$이다. $5\cdot401=(2-20)^2+(40+1)^2$이므로 $18^2+41^2$이다.

예제: 유리수 방정식 $x^3+3y^3+9z^3-9xyz=0$의 해가 되는 경우는 $x=y=z=0$임을 증명하여라.

주어진 방정식이 0이 아닌 유리수 해($x_0,y_0,z_0$)를 갖는다고 가정하자. $x$에 대해 정리하면 $x_0^3=9x_0y_0z_0-3y_0^3-9z_0^2$이 되어 3의 배수이므로 $x_0=3x_1$로 표현할 수 있음을 알 수 있다. 대입하여 정리하면 $3^3x_1^3=27x_1y_0z_0-3y_0^3-9z_0^3$이고 양변을 3으로 나눈 뒤 $y_0$에 대해서도 동일한 형태로 정리할 수 있다. $y_0^3=9x_1y_0z_0-9x_1^3-3z_0^3$에서 $y_0=3y_1$로 표현할 수 있으므로 동일하게 정리하면 $z_0^3=9x_1y_1z_0-9y_1^3-3x_1^3$이 된다. 다시 $z_0=3z_1$로 표현할 수 있으므로 $x_1^3+3y_1^3+9z_1^3-9x_1y_1z_1$꼴로 돌아온다. 결국 무한대로 반복하여도 미리 가정해둔 유리수 해는 항상 3의 배수여야 하므로 모순이 되어 주어진 방정식의 해가 되는 경우는 모두 0일 경우밖에 없다.

예제: $2^x+3^y=z^2$를 만족하는 모든 양의 정수 $x,\ y,\ z$를 구하여라.

좌변이 홀수이므로 우변도 홀수임에 따라 $z=2k+1,\ k\in Z$로 표현할 수 있다. $z^2\equiv1 \pmod{4}$이므로 $y$는 짝수여야 한다. ( $\because 3\equiv-1 \pmod{4}$) 그리고 제곱수는 3으로 나눈 나머지가 0 혹은 1이므로 $x$는 짝수여야 한다. ( $\because 2\equiv-1 \pmod{3}$) $y=2m$으로 두어 합차공식을 이용해 인수분해를 하면 $2^x=(z-3^m)(z+3^m)$이 된다. $z-3^m=2^a,\ z+3^m=2^b\quad a+b=x$라고 하면 $2\cdot3^m=2^a(2^{b-a}-1)$이 되어 $3^m=2^{x-2}-1,\ gcd(z-3^m,z+3^m)=2$임을 알 수 있다. 도출된 식에 따라 $2^{x-2}=3^m+1,\ x>2$를 만족해야 한다.

1. $x=3$인 경우 해 없음
2. $x=4$인 경우 $m=1$이 존재하여 $y=2,\ z=5$
3. $x=5$인 경우 해 없음
4. $x\le6$인 경우 $3^m+1\equiv 2,\ 4,\ 10,\ 12 \pmod{16}$에 이후 주기 4로 반복되어 6 이상의 값에 대해서는 해가 존재할 수 없음을 확인하였다.

만족하는 해는 $(4,\ 2,\ 5)$이다.

예제: 등식 $5^l(43)^m+1=n^3$을 만족하는 양의 정수 $l,\ m,\ n$을 모두 구하여라.

1을 이항하여 인수분해를 하면 $5^l(43)^m=n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)$이다. $n^2+n+1=(n-1)(n+2)+3$이므로 $\gcd(n-1,n^2+n+1)=1\ or\ 3$인데 좌변의 값에 따라 최대공약수는 1인 서로소 관계임을 알 수 있다.

1. $n-1=43^m,\ n^2+n+1=5^l$인 경우

   $n=43^m+1\equiv4,\ 0,\ 2,\ 3 \pmod{5}$인데 각 경우에 대해 $n^2+n+1\equiv 1,\ 1,\ 1,\ 2 \pmod{5}$이므로 조건을 성립하지 않는다.

2. $n-1=5^l,\ n^2+n+1=43^m$인 경우

   $n=5^l+1$인데 법을 43으로 하는 합동식의 규칙을 찾기엔 다뤄야하는 수가 너무 크므로 오른쪽 식에 대입하여 정리한다. $5^{2l}+3\cdot5^l+3 = 43^m$이므로 $l=1$이면 $m=1$이 되어 $n=6$으로 식이 성립한다. 그러나 $l\ge 2$라면 $5^{2l}+3\cdot5^l+3\equiv 3\pmod{25}$이고 $43^m\equiv -7,\ -1,\ 7,\ 1\ \pmod{25}$로 성립되는 값이 존재하지 않는다.

만족하는 해는 $(l,\ m,\ n)=(1,\ 1,\ 6)$이다.

예제: 네 자리의 정수로서, 앞의 두 자리 수와 뒤의 두 자리수와의 합의 제곱과 그 수가 같을 때, 이 정수를 구하여라.

정수 $\overline{abcd}$에 대해 $(\overline{ab}+\overline{cd})^2=\overline{abcd}$이다. $\overline{ab}=x,\ \overline{cd}=y$라고 하면 $(x+y)^2=100x+y$이다. 그리고 $x+y=k$라고 하면 $k^2=99x+k$이고 $k(k-1)=99x$가 되어 $k(k-1)$은 $99=3^2\cdot11$를 인수로 가져야 한다.

1. $k$가 11의 배수라면 $k=55,\ 99$일 경우 성립한다. 각 경우 $(x,y)=(30,25),(98,01)$가 존재한다.
2. $k-1$이 11의 배수라면 $k=45$일 경우 성립한다. 이 경우 $(x,y)=(20,25)$이다.

따라서 가능한 정수는 9801, 3025, 2025이다.

작성에 도움이 된 자료

• KMO 수학경시 정수론, 장환수학, 임장환 저